MATEMATICAS: abril 2014

Introducción
En la vida real hay situaciones en las que los números naturales no son suficientes.

Por ejemplo: si tienes 100 pesos y debes 150 pesos ¿De
cuánto dispones?. Observa a la derecha distintas
situaciones en las que se necesitan números enteros.

Los números enteros son una ampliación de los naturales:

• Los naturales se consideran enteros positivos (se escriben con el signo +)

• Los enteros negativos van precedidos del signo -.

• El cero es un entero pero no es ni negativo ni positivo.

LA RECTA NUMÉRICA

Los números enteros pueden ordenarse de menor a mayor en la recta numérica.

Debemos trazar una recta y pintar el cero en el centro.

Dividir la recta en segmentos iguales.

Colocar los nº positivos a partir del cero a la derecha.

y los nº negativos a partir del cero a la izquierda.

ORDENAR Y COMPARAR NÚMEROS ENTEROS

Cuanto más a la derecha esté un número situado en la recta numérica mayor es.

Cuanto más a la izquierda esté situado menor es.

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número entero es la

distancia que le separa del cero.

Se escribe entre dos barras | | y es el número

sin su signo:

|+a| = a |-a| = a

¿A qué distancia se encuentra –3 y cero?

¿A qué distancia se encuentra +7 de cero?

|+4|=4

La distancia de +4 a cero es 4.

El valor absoluto de +4 es 4.

|-3|=3

La distancia de -3 a cero es 3.

El valor absoluto de -3 es 3.

El valor absoluto es una distancia por lo que no puede ser negativo.

EJERCICIOS

1. Escribe el número que mejor representa la situación que se plantea:

a) Bajamos al sótano 3

b) Nació en el año 234 antes de Cristo

c) El avión vuela a 2455 m de altura

d) El termómetro marcaba 5º C bajo cero

2. Escribe el signo < o > según convenga:

a) –2 -6 b) –2 +4 c) +5 +12 d) +4 -8

4. Ordena de menor a mayor

a) +6, -5, -10, +12 b) +4, -20, -7, -4

3. Completa adecuadamente

a) |-5| = b) |+7| = c) |+6|= d) |-4|

OPERACIONES CON LOS NÚMEROS ENTEROS

Suma y diferencia de enteros

Suma de dos enteros
¿Qué significan las siguientes expresiones?

• +6 +3 = +9
tienes 6 $ y te dan 3 $ => tienes 9 $.
• -7 -5 = -12
debes 7 $ y gastas 5 $ => acumulas una
deuda de -12 $
• -6 +8 = +2
tienes 8 $ pero debes 6 $ => tienes +2 $.
El dinero supera las deudas
• -5 +3 = -2
debes 5 $ y tienes 3 $ => debes -2 $.
Las deudas superan el dinero

Suma de tres o más enteros

Para sumar 3 ó más enteros tenemos dos métodos:

1) Agrupar los dos primeros sumandos y sumar al

resultado el tercer sumando
+6 -4 +3 = -2 +3 = +1
En el caso de 4 sumandos se puede
agrupar de dos en dos:
+6 -4 +3 -2 = +2 +1 = +3

2) Sumar los positivos por un lado (tener) y los
negativos (deber) por el otro y finalmente hallar el
resultado deber tener
-7 +8 -5 = -12 + 8 = -4
deber tener +6 -4 +3 -2 = -6 + 9 = +3

¿Qué significan las expresiones?

+(+3) +(-3) -(+3) -(-3)
¿Debo o tengo?

+(+a) = +a -(-a ) = +a
+(-a ) = -a -(+a) = -a

Si los dos signos son iguales el
resultado positivo
Si los dos signos son distintos el
resultado es negativo

Ejemplos: +(+2) =+2 -(-2) = +2

- (+2) = -2 +(-2) = -2

Expresiones sencillas con paréntesis

El signo más (+) puede indicar suma o que el # es positivo.

El signo menos (-) puede indicar resta o que el # es negativo.

¿Cómo escribimos "sumar al 5 el # -6"?

No es correcto escribir 5 + -6 , lo correcto es 5+(-6)

¿Cómo escribir "restar al 6 el # -8"?

No es correcto 6 - -8 lo correcto es 5 - (-8)
No podemos escribir dos signos seguidos,
debemos separarlos mediante un paréntesis

¿ Cuál es el resultado?

Eliminar paréntesis Operar

(+3) + (-5) = +3 – 5 = -2

(-2) + (+4) = -2 + 4 = +2

(+1) - (+7) = +1 – 7 = -6

(+2) - (-6) = +2 + 6 = +8

(-2) - (+6) = -2 - 6 = -8

Suma y diferencia de enteros con paréntesis

Cuando se presenten ejercicios del tipo:
• ( -5 ) + ( -2 ) =
• ( +3 ) - ( -7 ) =
Deberemos

1) Eliminar los paréntesis
2) Operar adecuadamente los # resultantes

Recuerda que : + (+a) = +a - (+a) = -a
+ (-a) = -a - (-a) = +a

Lo anterior es válido si hay

tres ó más enteros, fíjate en (+2) - (+6) + (-5) = +2 - 6 - 5 = -9

los ejemplos . (-3) + (-5) - (-7) = -3 – 5 + 7 = -5

(-2) – (-5) + (-3) – (-2) = -2 +5 –3 +2 = +2

(-3) + (-4) – (-3) + (-1) = -3 –4 +3 –1 = -5

EJERCICIOS

Realiza las siguientes sumas de números enteros
a) +7 +4 = b) –5 –4 = c) +8 –2 = d) –5 +9 =

1) Realiza la siguientes sumas de números enteros usando el método de agrupar
a) –4 + 5 –3 = b ) +3 –5 +7 = c) –3 + 5 –8 = d) +4 – 7 –8 =

2). Realiza la siguientes sumas de números enteros usando el método de tener y deber
a) –4 + 5 –3 = b ) +3 –5 +7 = c) –3 + 5 –8 = d) +4 – 7 –8 =

3) Escribe el resultado
a) + (+3) = b) – (+4)= c) – (-5)= d) + (-2) =

4) Realiza las siguientes sumas y diferencias de números enteros
a) +(+3) + (-5) =
b) –(+4) – (+6) =
c) – (-5) + (+7) =
d) -(+3) + (+1) – (-4) =
e) -(+2) - (+1) – (+5) =
f) -(+2) + (-1) + (-4) – (-5)=
g) -(+1) - (+3) - (-4) – (-5)=

PRODUCTO Y DIVISIÓN DE ENTEROS

Regla de los signos

Producto de enteros

Para multiplicar enteros debemos:
1) Multiplicar los números sin signo
2) Aplicar la regla de los signos

Luis ahorra 6 al mes, ¿cuánto
ahorrará al cabo de 4 meses?
(+6) x (+4) =+24 $ ahorrará al cabo de 4 meses.

Clara gasta 5 al mes. ¿Cuánto
gastará al cabo de 3 meses?
(-5) x (+3) =-15 $ gastará al cabo de 3 meses.

Juliana gasta 7 al mes en CD. Deja
de comprar durante 2 meses.
¿Cuánto ha ahorrado?
(-7) x (-2) = +14 $ ahorrará al cabo de 2 meses.

División de enteros
Para dividir enteros debemos:
1) Dividir los números sin signo 8 – 9
2) Aplicar la regla de los signos

¿Qué número multiplicado por +6 da +30?   (+6)· x ( ) = 30
(30) / 6 = +5

¿Qué número multiplicado por -5 da +15? (-5) x ( ) = +15
(+15) / -5 = -3

¿Qué número multiplicado por -7 da -21? (-7) x ( ) = -21

(-21) / -7 = +3

EJERCICIOS

Realiza los siguientes productos y divisiones de números enteros
a) (+4)·(+3)= b) (+5)·(-2)= c) (-4)·(-5)= d) (-3)·(+7)=

e) (+24):(+3)= f) (+15):(-3)= g) (-14):(-2)= h) (-30):(+6)=

  Calcula quitando los paréntesis.

a) + 7 – 12 + (-5 + 6) – 7 =
b) -5 - (+12 – 5 ) + 4 =
c) -(+3 – 2 + 4 – 6 ) + (-1 + 7) – 12 =
d) +12 – (+16 – 11 + 3 ) – ( - 3 + 5) =
e) -8 + ( + 5 – 9 ) – 6 – (-8 + 3 + 5) =
f) -(+4 – 6) +(+12 + 1) – 5 –(+4 –19) – 13 =
g) -43 –(-7) + (-6 + 9) –(+14 + 7) –(-6 + 2) =
h) -(14 + 6 - 7) – 25 + 42 +(-7 –5) =
i) +6 +(-4) –(-7) +(+12 – 6) – (+2 – 1) =
j) -(12 + 4 – 9) – (- 41 – 4) + 3 =
k) +14 –(-3 + 6) +(+34 – 12 – 4) –(-6) =
l) -12 – 3 +(-16 + 2 – 24) – (+43 – 5) =
m) -(+3 – 43 + 11) –(+4) –(-16) +(-4) +(+6)=
n) +8 + (+34 – 6 – 23) – (+3 – 25 + 13) –100=

Multiplica:   Divide:

(+ 7) x (- 4) = (-18) : (+ 3) =
(- 8) x(+ 8) = (- 24) : (- 2) =

(+ 6) x (+ 9) = (+14) : (+ 2) =

(- 8) x (+ 8) = (+ 22) : (- 2) =

- 7) x (+ 5) = (- 72) : (+ 9) =

(- 7) x (- 7) = (- 54) : (+6) =

Las operaciones básicas con los decimales son : Suma , resta , multiplicación y división.
. Para sumar o restar números decimales, podemos hacerlo en forma de fracción y en forma decimal.

Para sumar o restar en forma decimal se colocan los números de modo que las comas estén en columnas. Luego se suman o restan como si fueran números naturales, poniendo la coma en el resultado en su columna correspondiente.

Para multiplicar dos números decimales, se realiza la multiplicación de ambos como si fueran números naturales. Luego se coloca la coma en el resultado, separando tantas cifras como decimales tengan en conjunto los dos factores.

Dividir un número decimal por un número entero

Para dividir un número decimal por un número entero:

Haz una división larga (ignora el punto decimal)
Después pon el punto decimal en el mismo sitio que el dividendo (el número que dividimos)

Ejemplo: Divide 9.1 por 7

Ignora el punto decimal y haz la división larga:

   13
7 )91
   9
   7
   21
   21
    0

Pon el punto decimal a la misma altura que el punto decimal del dividendo:

1.3
7 )9.1

La respuesta es 1.3

Dividir por un número decimal

¿Y si quieres dividir por un decimal?
El truco es convertir el número por el que divides (el divisor) en un número entero,moviendo el punto decimal de los dos números a la derecha:

Ahora estás dividiendo por un número entero, y puedes seguir como antes.
Este método es seguro si te acuerdas de mover el punto decimal de los dos números la misma cantidad de espacios.