LA GEOMETRIA

 

LA GEOMETRÍA

Geometría: Rama de la matemática que se ocupa del estudio detallado de las figuras geométricas y sus características, en el plano y en el espacio.

• La Geometría estudia ciertas propiedades del espacio y elementos inmersos en él.  
•  La Geometría está presente en múltiples ámbitos de la vida cotidiana: producción industrial, arquitectura,       topografía, etc…
• La Geometría es un componente esencial en el arte y en el aula de infantil puede trabajarse a la vez que creatividad plástica.

PUNTO 

Se utiliza para dar una posición en el espacio, Se representa por medio de una marca lo más pequeña que se pueda dibujar.

Se nombran con letras mayúsculas al lado de las marcas 

RECTA 

Se considera que dos puntos determinan una única recta, Una recta tiene infinitos puntos 

En ocasiones para representar una recta utilizamos flechas que nos 

indican que son ilimitadas. 

PLANO 

Representamos los planos mediante superficies como la que se muestra en el figura.

Intersección de dos rectas 

Rectas paralelas son rectas que están en el mismo plano y no se corta 

Ángulos.

Es la abertura formada por dos semirrectas unidas en un solo punto llamado vértice.

                                                                EL TRANSPORTADOR

                              

                                           
                                                                                                                                                                                                                                           Sirve para medir ángulos
                                                             

Un ángulo es positivo si su sentido de giro es contrario a las manecillas del reloj. 

Clasificación de ángulos

1. Por su magnitud los ángulos se clasifican en                           

Ángulo agudo. Es aquel cuya magnitud es menor de 90º.

Ángulo recto: es aquel que mide exactamente 90º . Y se marca con un pequeño rectángulo en el vértice

Ángulo obtuso: Es aquel cuya magnitud es mayor de 90º y menos a 180º .

Ángulo colineal o llano. Es aquel cuya magnitud es igual a 180º

Ángulo de giro o vuelta:  Es aquel cuya magnitud es igual a 360º .

2.Por su posición los ángulos se clasifican en:

Ángulos adyacentes. Son los que están formados de manera que un lado es común y los otros lados pertenecen a la misma recta.

Ángulos opuestos por el vértice. Son dos ángulos que se encuentran uno enfrente de otro al cruzarse dos rectas en un punto llamado vértice

Ángulos Complementarios. Son dos ó mas ángulos que al sumarlos su resultado es igual a 90°. 

Ángulos suplementarios. Son dos ó mas ángulos que al sumarlos su resultado es igual a 180° 

POLÍGONOS

Un polígono es una figura cerrada en un plano, formada al conectar segmentos de rectas, extremo por extremo, en donde cada segmento intersecta exactamente a otros dos.

Los polígonos pueden ser: 

• Convexos: todos sus ángulos interiores son menores de 180º. 

• Cóncavos: algunos de sus ángulos interiores son mayores de 180º. 

Como podrás ver más adelante en este tema, también se clasifican en: regulares e irregulares y según su 

número de lados. 

Triángulos 

Un triángulo es un polígono de tres lados. Sus elementos característicos son: lados, base, altura, vértices y ángulos.

Los triángulos se pueden clasificar según sus ángulos en:

Acutángulos: los tres ángulos agudos. 

Rectángulos: un ángulo recto y dos agudos.

Obtusángulos: un ángulo obtuso y dos agudos. 

Según sus lados se clasifican en:

Equiláteros: los tres lados iguales. 

Isósceles: dos lados iguales y uno distinto. 

Escalenos: los tres lados distintos. 

Polígonos regulares 

Un polígono regular es aquél cuyos lados tienen la misma longitud y cuyos ángulos son iguales

Cada polígono regular recibe un nombre según su número de lados: 

  De tres lados: triángulo. 

• De cuatro lados: cuadrado. 

• De cinco lados: pentágono. 

• De seis lados: hexágono. 

• De siete lados: heptágono. 

• De ocho lados: octógono. 

• De nueve lados: eneágono. 

• De diez lados: decágono. 

• De once lados: endecágono. 

• De doce lados: dodecágono. 

• De trece o más lados: no se le da ningún nombre, se habla de polígono regular de 13, 14, …, lados.

Cuadriláteros 

Elementos y clasificación

Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Sus elementos característicos son: lados, vértices, ángulos 

Trapezoides: no tiene lados paralelos. 

• Trapecios: tiene dos lados paralelos. 

• Paralelogramos: los lados opuestos son paralelos. 

Paralelogramos

Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos siempre son paralelos, tal como se mostraba

en el apartado anterior.

Los paralelogramos se pueden clasificar atendiendo a sus ángulos y a sus lados en:

Cuadrados: sus cuatro lados son iguales y sus cuatro ángulos también.

Rectángulos: sus lados opuestos son iguales y sus cuatro ángulos son iguales.

Rombos: sus cuatro lados son iguales y sus ángulos opuestos son iguales.

Romboides: sus lados opuestos son iguales y sus ángulos opuestos son iguales. 

LOS NÚMEROS ENTEROS

Introducción
En la vida real hay situaciones en las que los números naturales no son suficientes.

Por ejemplo: si tienes 100 pesos y debes 150 pesos ¿De                  
cuánto dispones?. Observa a la derecha distintas
situaciones en las que se necesitan números enteros.

Los números enteros son una ampliación de los naturales:

• Los naturales se consideran enteros positivos (se escriben con el signo +)

• Los enteros negativos van precedidos del signo -.

• El cero es un entero pero no es ni negativo ni positivo.  

LA RECTA NUMÉRICA

Los números enteros pueden ordenarse de menor a mayor en la recta numérica. 

Debemos trazar una recta y pintar el cero en el centro. 

Dividir la recta en segmentos iguales.                                                  

Colocar los nº positivos a partir del cero a la derecha. 

y los nº negativos a partir del cero a la izquierda. 

ORDENAR Y COMPARAR NÚMEROS ENTEROS

Cuanto más a la derecha esté un número situado en la recta numérica mayor es. 

Cuanto más a la izquierda esté situado menor es.

   

    

VALOR ABSOLUTO 

El valor absoluto de un número entero es la 

distancia que le separa del cero. 

Se escribe entre dos barras | | y es el número 

sin su signo: 

 |+a| = a |-a| = a 

¿A qué distancia se encuentra –3 y cero? 

¿A qué distancia se encuentra +7 de cero?

|+4|=4 

La distancia de +4 a cero es 4. 

El valor absoluto de +4 es 4. 

|-3|=3 

La distancia de -3 a cero es 3. 

El valor absoluto de -3 es 3. 

El valor absoluto es una distancia por lo que no puede ser negativo. 

EJERCICIOS

1. Escribe el número que mejor representa la situación que se plantea:

a) Bajamos al sótano 3

b) Nació en el año 234 antes de Cristo

c) El avión vuela a 2455 m de altura

d) El termómetro marcaba 5º C bajo cero

2. Escribe el signo < o > según convenga:

a) –2 -6       b) –2 +4     c) +5 +12     d) +4 -8

4. Ordena de menor a mayor

a) +6, -5, -10, +12       b) +4, -20, -7, -4

3. Completa adecuadamente

a) |-5| =          b) |+7| =       c) |+6|=      d) |-4|

OPERACIONES CON LOS NÚMEROS ENTEROS 

Suma y diferencia de enteros 

Suma de dos enteros 
¿Qué significan las siguientes expresiones?
• +6 +3 = +9
tienes 6 $ y te dan 3 $ => tienes 9 $.
• -7 -5 = -12
debes 7 $ y gastas 5 $ => acumulas una
deuda de -12 $
• -6 +8 = +2
tienes 8 $ pero debes 6 $ => tienes +2 $.
El dinero supera las deudas
• -5 +3 = -2
debes 5 $ y tienes 3 $ => debes -2 $.                            
Las deudas superan el dinero



Suma de tres o más enteros


Para sumar 3 ó más enteros tenemos dos métodos:

1) Agrupar los dos primeros sumandos y sumar al
resultado el tercer sumando
 +6 -4 +3 = -2 +3 = +1 
En el caso de 4 sumandos se puede
agrupar de dos en dos:
 +6 -4 +3 -2 = +2 +1 = +3


2) Sumar los positivos por un lado (tener) y los
negativos (deber) por el otro y finalmente hallar el
resultado     deber     tener 
 -7 +8 -5 = -12    +    8     = -4
                        deber     tener                                     +6 -4 +3 -2 =   -6    +    9    = +3

¿Qué significan las expresiones?

+(+3) +(-3) -(+3) -(-3)
¿Debo o tengo?

+(+a) = +a -(-a ) = +a
+(-a ) = -a -(+a) = -a

Si los dos signos son iguales el
resultado positivo
Si los dos signos son distintos el
resultado es negativo

Ejemplos: +(+2) =+2       -(-2) = +2

               - (+2) = -2       +(-2) = -2

Expresiones sencillas con paréntesis 

El signo más (+) puede indicar suma o que el # es positivo. 

El signo menos (-) puede indicar resta o que el # es negativo.

¿Cómo escribimos "sumar al 5 el # -6"? 

No es correcto escribir 5 + -6 , lo correcto es 5+(-6)

¿Cómo escribir "restar al 6 el # -8"? 

No es correcto 6 - -8 lo correcto es 5 - (-8)
No podemos escribir dos signos seguidos, 
debemos separarlos mediante un paréntesis 

¿ Cuál es el resultado? 

 Eliminar paréntesis Operar 

(+3) + (-5) = +3 – 5 = -2 

(-2) + (+4) = -2 + 4 = +2 

(+1) - (+7) = +1 – 7 = -6 

(+2) - (-6) = +2 + 6 = +8 

(-2) - (+6) = -2 - 6 = -8 

Suma y diferencia de enteros con paréntesis 

Cuando se presenten ejercicios del tipo:
• ( -5 ) + ( -2 ) =
• ( +3 ) - ( -7 ) =
Deberemos

1) Eliminar los paréntesis
2) Operar adecuadamente los # resultantes

Recuerda que : + (+a) = +a         - (+a) = -a
                        + (-a) = -a          - (-a) = +a 

Lo anterior es válido si hay                                

 tres ó más enteros, fíjate en                                 (+2) - (+6) + (-5) = +2 - 6 - 5 = -9 

los ejemplos .                                                     (-3) + (-5) - (-7) = -3 – 5 + 7 = -5 

                                                                         (-2) – (-5) + (-3) – (-2) = -2 +5 –3 +2 = +2 

                                                                         (-3) + (-4) – (-3) + (-1) = -3 –4 +3 –1 = -5 

EJERCICIOS 

Realiza las siguientes sumas de números enteros 
a) +7 +4 =          b) –5 –4 =            c) +8 –2 =                 d) –5 +9 =

1) Realiza la siguientes sumas de números enteros usando el método de agrupar 
 a) –4 + 5 –3 =      b ) +3 –5 +7 =             c) –3 + 5 –8 =              d) +4 – 7 –8 =

2). Realiza la siguientes sumas de números enteros usando el método de tener y deber 
 a) –4 + 5 –3 =              b ) +3 –5 +7 =          c) –3 + 5 –8 =             d) +4 – 7 –8 =

3) Escribe el resultado 
a) + (+3) =             b) – (+4)=          c) – (-5)=                  d) + (-2) =

4) Realiza las siguientes sumas y diferencias de números enteros 
a) +(+3) + (-5) =
b) –(+4) – (+6) =
c) – (-5) + (+7) =
d) -(+3) + (+1) – (-4) =
e) -(+2) - (+1) – (+5) =
f) -(+2) + (-1) + (-4) – (-5)=
g) -(+1) - (+3) - (-4) – (-5)=




PRODUCTO Y DIVISIÓN DE ENTEROS 
                                                                                                                        

                                           Regla de los signos

Producto de enteros 
Para multiplicar enteros debemos:
1) Multiplicar los números sin signo
2) Aplicar la regla de los signos

Luis ahorra 6 al mes, ¿cuánto 
ahorrará al cabo de 4 meses? 
(+6) x (+4) =+24 $ ahorrará al cabo de 4 meses. 

Clara gasta 5 al mes. ¿Cuánto
gastará al cabo de 3 meses?
(-5) x (+3) =-15 $ gastará al cabo de 3 meses.

 Juliana gasta 7 al mes en CD. Deja 
de comprar durante 2 meses. 
¿Cuánto ha ahorrado? 
(-7) x (-2) = +14 $ ahorrará al cabo de 2 meses. 

División de enteros 
Para dividir enteros debemos:
1) Dividir los números sin signo 8 – 9
2) Aplicar la regla de los signos 

¿Qué número multiplicado por +6 da +30?     (+6)· x (  ) = 30
                                                                      (30) / 6 = +5

¿Qué número multiplicado por -5 da +15?       (-5) x (  ) = +15 
                                                                        (+15) / -5 = -3

¿Qué número multiplicado por -7 da -21?         (-7) x (  ) = -21

                                                                        (-21) / -7 = +3      


 EJERCICIOS

Realiza los siguientes productos y divisiones de números enteros
a) (+4)·(+3)=          b) (+5)·(-2)=          c) (-4)·(-5)=            d) (-3)·(+7)=

e) (+24):(+3)=        f) (+15):(-3)=         g) (-14):(-2)=          h) (-30):(+6)=



  Calcula quitando los paréntesis.

a) + 7 – 12 + (-5 + 6) – 7 =
b) -5 - (+12 – 5 ) + 4 =
c) -(+3 – 2 + 4 – 6 ) + (-1 + 7) – 12 =
d) +12 – (+16 – 11 + 3 ) – ( - 3 + 5) =
e) -8 + ( + 5 – 9 ) – 6 – (-8 + 3 + 5) =
f) -(+4 – 6) +(+12 + 1) – 5 –(+4 –19) – 13 =
g) -43 –(-7) + (-6 + 9) –(+14 + 7) –(-6 + 2) =
h) -(14 + 6 - 7) – 25 + 42 +(-7 –5) =
i) +6 +(-4) –(-7) +(+12 – 6) – (+2 – 1) =
j) -(12 + 4 – 9) – (- 41 – 4) + 3 =
k) +14 –(-3 + 6) +(+34 – 12 – 4) –(-6) =
l) -12 – 3 +(-16 + 2 – 24) – (+43 – 5) =
m) -(+3 – 43 + 11) –(+4) –(-16) +(-4) +(+6)=
n) +8 + (+34 – 6 – 23) – (+3 – 25 + 13) –100=


Multiplica:                                                   Divide:

(+ 7) x (- 4) =                                            (-18) : (+ 3) =      
(- 8) x(+ 8) =                                             (- 24) : (- 2) =

(+ 6) x (+ 9) =                                           (+14) : (+ 2) =

(- 8) x (+ 8) =                                            (+ 22) : (- 2) =

- 7) x (+ 5) =                                             (- 72) : (+ 9) =

(- 7) x (- 7) =                                            (- 54) : (+6) =

OPERACIONES CON LOS DECIMALES

Las operaciones básicas con los decimales son : Suma , resta , multiplicación y división.
. Para sumar o restar números decimales, podemos hacerlo en forma de fracción y en forma decimal.

Para sumar o restar en forma decimal se colocan los números de modo que las comas estén en columnas. Luego se suman o restan como si fueran números naturales, poniendo la coma en el resultado en su columna correspondiente.

Para multiplicar dos números decimales, se realiza la multiplicación de ambos como si fueran números naturales. Luego se coloca la coma en el resultado, separando tantas cifras como decimales tengan en conjunto los dos factores.

Dividir un número decimal por un número entero Para dividir un número decimal por un número entero: Haz una división larga (ignora el punto decimal) Después pon el punto decimal en el mismo sitio que el dividendo (el número que dividimos) Ejemplo: Divide 9.1 por 7 Ignora el punto decimal y haz la división larga:    13 7 )91    9    7    21    21     0 Pon el punto decimal a la misma altura que el punto decimal del dividendo:      1.3 7 )9.1 La respuesta es 1.3 Dividir por un número decimal ¿Y si quieres dividir por un decimal? El truco es convertir el número por el que divides (el divisor) en un número entero,moviendo el punto decimal de los dos números a la derecha: Ahora estás dividiendo por un número entero, y puedes seguir como antes. Este método es seguro si te acuerdas de mover el punto decimal de los dos números la misma cantidad de espacios.   Ejemplo 2: Divide 5.39 por 1.1 No estás dividiendo por un número entero, así que tienes que mover el punto decimal para que sí dividas por un entero: mover 1 5.39 53.9 1.1 11 mover 1 Ahora estás dividiendo por un entero así que puedes continuar: Ignora el punto decimal y haz la división larga:     049 11 )539     5     0     53     44      99      99       0 Pon el punto decimal en la respuesta a la misma altura que el punto decimal del dividendo:     04.9 11 )53.9 La respuesta es 4.9

Decimales

Un número decimal es aquel que se puede expresar mediante una fracción decimal.Consta de dos partes: entera y decimal.

Para expresar un número decimal como una fracción decimal, se pone como numerador de la fracción el número dado sin la coma y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga ese número.